வரலாற்று ஆழம்: குதிரைப் பயணம் என்பது ஒரு சதுரங்கப் பலகையில் உள்ள ஒவ்வொரு சதுரத்தையும் சரியாக ஒருமுறை சென்று வரும் ஒரு கணித வரிசையாகும். இது ஒரு தந்திரோபாய சவாலாகவும், பொழுதுபோக்கு கணிதத்தில் ஒரு உன்னதமான சிக்கலாகவும் உள்ளது.
மூலங்கள்:
இந்தச் சிக்கல் ஒரு நவீன கண்டுபிடிப்பு என்பதிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. அல்-அத்லி மற்றும் அஸ்-சுலி போன்ற பாக்தாத் மேதைகளால் வழங்கப்பட்ட, அறியப்பட்ட மிகப் பழமையான தீர்வுகள் 9 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்தவை. மேலும், 9 ஆம் நூற்றாண்டின் இந்திய இலக்கியத்தில், காஷ்மீரிக் கவிஞர் ரুদ্রதா தனது 'காவ்யாலங்காரம்' என்ற படைப்பில் இந்தக் கணித அழகியலை வெளிப்படுத்தினார், அதில் அவர் ஒரு குதிரைப் பயண வரிசையைப் பின்பற்றும் ஒரு கவிதையை இயற்றினார்.
மேற்கத்திய இலக்கியம்:
13 ஆம் நூற்றாண்டில், காஸ்டிலின் மன்னர் அல்போன்சோ X, தனது புகழ்பெற்ற 'லிப்ரோ டி லோஸ் ஜோகோஸ்' (விளையாட்டுகளின் புத்தகம்) நூலில், ஒரு வீரரின் நகர்வை அடிப்படையாகக் கொண்ட சிக்கலான உத்திகளை இடம்பெறச் செய்தார். இருப்பினும், இந்தச் சிக்கலின் நவீன கணித அடிப்படை 1759 இல் லியோனார்ட் யூலரால் அமைக்கப்பட்டது, அவருடைய பகுப்பாய்வு இப்போது வரைபடக் கோட்பாட்டின் (Graph Theory) முக்கிய தூண்களில் ஒன்றாக அங்கீகரிக்கப்பட்டுள்ளது.
பண்புகள்:
மூடிய (மீள்நுழைவு) சுற்றுப்பயணம்: குதிரை, தொடக்கச் சதுக்கத்திலிருந்து சரியாக ஒரு குதிரைச் சதுர தூரத்தில் உள்ள சதுகத்தில் பயணம் முடித்தால், அது உடனடியாக மீண்டும் பயணத்தைத் தொடங்க அனுமதிக்கிறது.
திறந்த சுற்றுப்பயணம்:
வீரர் எல்லா சதுரங்களுக்கும் சென்று, இறுதியில் ஒரே நகர்வில் தொடக்கப் புள்ளியை அடைய முடியாத ஒரு சதுரத்தில் முடித்தால்.
1848-ல் மேக்ஸ் பெஸ்ஸெல் முன்வைத்து, கார்ல் ஃபிரீட்ரிச் காஸ் போன்ற மேதைகளின் கவனத்தை ஈர்த்த இந்தச் சிக்கல், நவீன கணினி அறிவியலின் தந்தையர்களில் ஒருவரான எட்ஜ்கர் டபிள்யூ. டெய்க்ஸ்ட்ராவால் 1970-களில் ஒரு “நிகழ்ச்சி நிரல் அறிக்கையாக” மாற்றப்பட்டது.
அவரது முன்னோடியான படைப்பில், கட்டமைக்கப்பட்ட நிரலாக்கத்திற்கான குறிப்புகள் (1972), டைக்ஸ்ட்ரா, “படிப்படியான செம்மைப்படுத்தல்” என்று அழைத்த ஒரு செயல்முறை மூலம், ஒரு அல்காரிதத்தை முறையாக எவ்வாறு உருவாக்கலாம் என்பதை விளக்குவதற்காக 8 ராணிகள் சிக்கலைப் பயன்படுத்தினார்.”
பின்னோக்கிச் செல்லும் ஆற்றல்:
டைக்ஸ்ட்ராவின் கூற்றுப்படி, இந்த அணுகுமுறை “சோதனை-பிழை” செயல்முறையை ஒரு குறைபாடற்ற தர்க்கரீதியான வரிசையாக செம்மைப்படுத்துவதில் முதல் முக்கிய மைல்கல்லைக் குறிக்கிறது.
புராணம் மற்றும் தோற்றம்:
கதையின்படி, சதுரங்கத்தின் கண்டுபிடிப்பாளரான சிஸ்ஸா பின் தஹிர், இந்திய மன்னரிடம் இந்த விளையாட்டை வழங்கியபோது, மன்னர் அவரிடம் அவருக்கு என்ன பரிசு வேண்டும் என்று கேட்டார். சிஸ்ஸா ஒரு எளிமையான கோரிக்கையை முன்வைத்தார்: “சதுரங்க பலகையின் முதல் கட்டத்திற்கு ஒரு கோதுமை மணியும், இரண்டாவது கட்டத்திற்கு இரண்டு, மூன்றாவது கட்டத்திற்கு நான்கு, மற்றும் அடுத்தடுத்த ஒவ்வொரு கட்டத்திற்கும், முந்தைய கட்டத்தின் இருமடங்கு வேண்டும்.” அரசர் ஆரம்பத்தில் இது “ஒரு கைப்பிடி கோதுமை” மட்டுமே என்று நினைத்து இந்தக் கோரிக்கையை நிராகரித்தார்; இருப்பினும், கணக்கீடு தொடங்கியபோது, இந்தத் தேவையைப் பூர்த்தி செய்ய கருவூலத்திலோ அல்லது உலகின் மொத்த கோதுமை இருப்புகளிலோ எதுவும் போதுமானதாக இருக்காது என்பது தெளிவாகியது.
வரலாற்றுப் பதிவு: இப்ன் கலிகான் (1256)
இந்தப் புகழ்பெற்ற கதையின் முதல் அறியப்பட்ட எழுதப்பட்ட பதிவு, புகழ்பெற்ற வாழ்க்கை வரலாற்றாசிரியரும் வரலாற்றாசிரியருமான இப்ன் கலிகான் என்பவரால் 1256-ல் ஆவணப்படுத்தப்பட்டது. இப்ன் கலிகான் இந்த நிகழ்வைத் தனது படைப்பில் ஒரு கதையாக மட்டுமல்லாமல், கணிதம் எவ்வாறு கற்பனையின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துகிறது என்பதற்கான சான்றாகவும் இணைத்தார்.
கணித யதார்த்தம்:
சதுரங்கப் பலகையில் உள்ள 64 சதுரங்களுக்காகச் செய்யப்படும் இந்தக் கோரிக்கை, வடிவியல் பெருக்கலின் (பன்ம வளர்ச்சி) மிகத் தூய்மையான எடுத்துக்காட்டாகும். ஒவ்வொரு சதுரங்கில் உள்ள தொகையும் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது 2என்-1 . கோதுமையின் மொத்த அளவைக் காட்டும் சமன்பாடு பின்வருமாறு:
63
∑
i=0
2i = 264 − ஒன்று
இந்தக் கணக்கீட்டின் விளைவாகக் கிடைக்கும் பிரம்மாண்டமான எண்:
18,446,744,073,709,551,615
இது ஏன் மிகவும் முக்கியமானது?
உத்திப்பாடம்: இந்தச் சிக்கல், சிறிய மாற்றங்கள் (“இரட்டிப்பு”) காலப்போக்கில் கட்டுப்பாடற்ற சக்திகளாக மாறக்கூடியவை என்பதைத் தலைவர்களுக்கும் வியூக வகுப்பாளர்களுக்கும் கற்பிக்கும் ஒரு பழங்கால ஞானப்பாடம் ஆகும்.
